[올리미 자연과학 칼럼] 서울과고 졸업생이 알려주는 자연과학계열 지망생이 독창적인 기하 세특 쓰는 법

먼저, 음함수란 무엇이며 음함수의 미분법을 배워야 하는 이유는 무엇일까요? 음함수란 y=f(x) 꼴의 식으로 표현되는 양함수와는 다르게, f(x,y)=0 꼴의 식으로 정의되는 함수의 표현을 말합니다. 우리가 잘 알고 있는 원의 방정식은 대표적인 음함수입니다.

김헌중 / 학생 / 자유전공학부

Nov 04, 2024

[올리미 자연과학 칼럼] 서울과고 졸업생이 알려주는 자연과학계열 지망생이 독창적인 기하 세특 쓰는 법

안녕하세요?

전원 서울대 출신이 설계해드리는

대체 불가능한 합격의 맥락, 올리미 컨설팅입니다.

오늘은 올리미 자연과학팀 최진혁 컨설턴트와 함께 “자연과학계열 지망생이 독창적인 기하 세특 쓰는 법”을 주제로 칼럼을 준비해보았습니다.

많은 학생분들이 수학 세특을 어떻게 작성해야 좋을지 고민이 많으신데요, 오늘은 기하 과목의 세특 작성을 위해 음함수의 미분법 개념과 심화 응용 사례에 대해 알아보겠습니다.

교과 개념: 음함수란 무엇이며 음함수의 미분법을 왜 배워야 할까?

먼저, 음함수란 무엇이며 음함수의 미분법을 배워야 하는 이유는 무엇일까요? 음함수란 y=f(x) 꼴의 식으로 표현되는 양함수와는 다르게, f(x,y)=0 꼴의 식으로 정의되는 함수의 표현을 말합니다. 우리가 잘 알고 있는 원의 방정식은 대표적인 음함수입니다.

원의 방정식

에서 우변에 있는 항을 이항하면

이 되어 음함수가 됩니다.

만약 이와 같은 함수로 주어진 원 위의 점에서 접선의 기울기를 구하고 싶다면 어떻게 해야 할까요?

음함수의 미분법을 배우지 않은 학생이라면, 원의 방정식을

와 같이 양함수로 나타낸 후 f(x)를 x에 대해 미분하여 도함수 f’(x)를 구하려 할 것입니다. 간단한 원의 방정식을 예시로 들었기 때문에 양함수 미분으로도 f(x)를 간단하게 구할 수 있으나, x, y에 대한 교차항이 포함된 타원의 방정식의 경우에는 f(x)를 구하는 것조차 매우 복잡해집니다. f(x)를 구했다 하더라도, 한 번 더 미분하는 과정을 거쳐야 f’(x)을 얻을 수 있으므로 양함수의 미분은 상당히 복잡한 계산이 됩니다.

그러나 음함수의 미분법을 활용하면 원의 방정식을 포함한 모든 이차곡선의 기울기를 간단하게 구할 수 있습니다. 음함수 미분법은 f(x, y)=0 꼴의 식을 변형하지 않고 바로 x에 대해 미분하는 방법입니다. 따라서 위의 양함수 미분에서 등장했던 제곱근이 미분 과정에서 등장하지 않습니다.

따라서 f(x, y)를 구성하는 x^2과 y^2의 이차함수 미분법만 알고 있어도 y의 도함수 y’을 계산할 수 있습니다.

원의 방정식에 대해 음함수의 미분을 취하면 다음과 같습니다.

이로부터

라는 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.

이처럼 음함수의 미분은 특정 함수에 대해 도함수를 훨씬 쉽게 계산할 수 있게 해줍니다. 이것이 바로 우리가 양함수의 미분과 함께 음함수의 미분을 배우는 핵심적인 이유입니다.

심화 응용: 음함수의 그래프 그리기

아래와 같은 방정식이 있습니다.

위 방정식은 어떠한 그래프를 그리게 될까요?

그래프를 그리기 위해서는 첫 번째로 도함수를 구해야 합니다. 하지만 도함수 f’(x)를 계산하기 이전에 위 방정식을 y=f(x)의 꼴로 나타내는 것조차 불가능해 보입니다. 이런 경우 음함수 미분법이 아주 유용합니다.

※엄밀히 말해 위 방정식은 하나의 x값에 대해 여러 개의 y값이 존재하므로 함수가 아니지만, 음함수 미분법을 적용하여 기울기를 계산하는 데는 지장이 없습니다.

양함수 관점에서 볼 때는 굉장히 복잡한 식일지 몰라도, 음함수의 관점에서 보면 위 방정식은 이미 잘 정리된 f(x, y)=0 꼴의 음함수입니다. 즉 음함수의 미분법을 적용하여, 위 방정식의 양변에 x에 대한 미분만 취하면 바로 도함수를 얻을 수 있다는 것이죠. 그럼 잠깐 펜을 들고 위 방정식을 x에 대해 미분해볼까요? 곱의 미분과 합성함수 미분을 배운 학생이라면 어렵지 않게 아래와 같은 식을 얻을 수 있을 것입니다.

위 식을 dy/dx에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

이제 우리는 위 방정식의 임의의 점 (x, y)에서의 기울기를 구한 것입니다. 식이 복잡하다고 느껴질 수 있겠지만, 양함수 미분법에 비하면 상상할 수 없을 정도로 간단한 결과입니다. 계산 과정은 양함수 미분보다 이루 말할 수 없을 정도로 간단하죠. 임의의 점에서 기울기를 얻었으니 이제 그래프를 그릴 수 있게 되었습니다. 기울기를 구했다고 해서 그래프가 바로 뚝딱하고 나오는 것은 아니지만, 그래프의 개형을 유추할 수 있다는 데 그 의미가 있습니다.

dy/dx의 식으로부터 방정식의 그래프를 그리는 것은 여러분의 몫으로 남겨놓도록 하겠습니다. 열심히 그린 학생은 다음과 같이 아름다운 그래프를 얻을 수 있을 것입니다. 그래프가 하트 모양을 닮아 사랑의 방정식이라고도 불린답니다 ㅎㅎ

칼럼 내용이 조금 어렵고 길었는데, 이해가 잘 되셨나요? 음함수의 미분법을 활용해 주어진 방정식의 그래프 개형을 직접 그려본다면 아래와 같은 문구의 세특을 만들어낼 수 있습니다.

Q: 상담 문의는 어떻게 할 수 있나요?

올리미 컨설팅에서는 조금 시간이 걸리더라도 대표 컨설턴트가 직접 모든 학부모님 상담을 예약제로 진행해드리고 있습니다.

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