[올리미 자연과학 칼럼] 서울과고 졸업생이 알려주는 자연과학계열 지망생이 차별화된 물리1 세특 쓰는 법

수학과 물리는 서로 연관성이 깊은 과목이지만 너무 어려워서 많은 학생들이 세특 준비를 포기하는 경우가 많은데요, 오늘은 수학과가 물리학1 세특을 채우는 방법에 관한 칼럼을 준비하였습니다. 고등 수학의 범위 내에서 빛의 굴절 법칙인 "스넬의 법칙"을 함께 증명해보겠습니다.

김헌중 / 학생 / 자유전공학부

Nov 04, 2024

[올리미 자연과학 칼럼] 서울과고 졸업생이 알려주는 자연과학계열 지망생이 차별화된 물리1 세특 쓰는 법

안녕하세요?

전원 서울대 출신이 설계해드리는

대체 불가능한 합격의 맥락, 올리미 컨설팅입니다.

오늘은 올리미 자연과학팀 최진혁 컨설턴트와 함께 “자연과학계열 지망생이 차별화된 물리1 세특 쓰는 법”을 주제로 칼럼을 준비해보았습니다.

수학과 물리는 서로 연관성이 깊은 과목이지만 너무 어려워서 많은 학생들이 세특 준비를 포기하는 경우가 많은데요, 오늘은 수학과가 물리학1 세특을 채우는 방법에 관한 칼럼을 준비하였습니다. 고등 수학의 범위 내에서 빛의 굴절 법칙인 "스넬의 법칙"을 함께 증명해보겠습니다.

물리1 교과 개념: 파동의 진행과 굴절

파동의 가장 대표적인 특성인 반사와 굴절은 중학교에서도 배우는 간단한 개념입니다. 물리1에서도 이 개념이 등장하는데요. 파동의 대표적인 예인 전자기파, 즉 빛에 대한 반사의 법칙과 굴절의 법칙을 주로 다루게 됩니다.

★ 반사의 법칙

빛이 어떤 매질에서 다른 매질로 진행할 때, 입사 광선과 반사 광선이 만족하는 법칙입니다.

1. 입사 광선와 반사 광선은 반사면에 수직인 동일 평면 위에 있다.

2. 입사 광선와 반사 광선은 반사면에 수직으로 세운 법선에 대해 서로 반대쪽에 있다.

3. 입사각과 반사각의 크기가 서로 같다.

법선: 반사면과 수직인 선

입사 광선: 반사면을 향하여 들어가는 빛

반사 광선: 반사면에서 부딪쳐 나오는 빛

입사각: 입사 광선과 법선이 이루는 각

반사각: 반사 광선과 법선이 이루는 각

★ 스넬의 법칙

빛이 하나의 매질에서 다른 종류의 매질로 진행할 때, 입사각과 굴절각의 사인 값의 비가 항상 일정하다는 법칙입니다. 굴절의 법칙이라고도 불리며, 이를 통해 빛의 입사각을 알면 굴절각을 계산할 수 있습니다.

빛의 반사, 굴절의 법칙과 고등수학의 연계

학교에서 배운 수학을 활용하여 빛의 반사, 굴절 법칙을 쉽게 증명할 수 있다면 믿을 수 있으신가요? 물리에 관심이 있었더라도 빛의 반사, 굴절 법칙은 빛의 고유한 성질이라고 받아들였던 학생들이 많을텐데요. 본격적인 증명에 앞서 증명에 필요한 핵심 가정 하나를 하려고 합니다.

💡

빛은 가장 짧은 시간의 경로를 따라 움직인다.

이는 ‘페르마의 원리’라고도 불리는 가정입니다. 이로부터 아래 문제 3개를 통해 빛의 성질을 하나씩 유도해보도록 합시다. 고등수학 범위 내에서 모든 문제가 해결 가능하니 걱정마세요!

문제 1. 빛의 직진

빛이 한 점 A에서 출발하여 다른 한 점 B에 도착합니다.

공간에는 어떠한 매질도 없어 빛은 항상 진공 상태에서 일정한 속도 c로 나아갑니다.

A에서 출발한 빛이 최단시간으로 B에 도달하려면 어떠한 경로를 따라야할까요?

정답은 바로 두 점 A와 B를 잇는 직선입니다. 직선은 두 점을 잇는 가장 짧은 경로이기 때문이죠. 따라서 빛은 구불구불한 경로를 따르지 않고 직진합니다. 너무 당연한 사실 아니냐구요? 그럼 바로 다음 문제를 풀어봅시다.

문제 2. 반사의 법칙

빛은 한 점 A에서 출발하여 다른 한 점 B에 도착하며,

이번에도 A와 B 사이에는 어떠한 매질도 없어 빛의 속도는 일정합니다.

그러나 빛이 반드시 직선 m 위의 한 점을 경유하여 가야 합니다. 빛은 어떤 경로를 따라가게 될까요?

(단, 두 점 A, B는 직선 m 위의 점이 아니며 선분 AB는 직선 m과 만나지 않습니다.)

벌써 답을 눈치챈 학생도 있을 것 같은데요. 정답은 바로 “입사각과 반사각이 동일한 경로를 따른다”입니다. 즉, 빛은 입사각과 반사각이 동일한 경로를 움직이게 되는 것이죠. 그렇다면 왜 이러한 경로를 따르게 될까요? 이 또한 페르마의 원리를 적용하여 해결할 수 있습니다. 먼저, 빛이 경우하는 직선 m 위의 한 점을 P라고 해봅시다. 그렇다면 문제 1에서 얻은 결과로부터 빛은 두 점 A와 P, 그리고 P와 B를 직선경로로 이동하게 됩니다. 따라서 빛의 이동거리는 AP+PB입니다.

그렇다면 AP+PB가 최소가 되는 점 P’는 무엇일까요?

대칭이동을 활용하여 위 조건을 만족하는 P’을 쉽게 찾을 수 있습니다. B를 직선 m에 대해 대칭시킨 점을 B’이라하면 빛의 이동거리 AP+PB=AP+PB’가 됩니다. 문제 1로부터 A와 B’ 사이의 최단경로는 직선이므로, P’은 직선 AB’ 위의 점이어야 하고, 이때 이동거리는 선분 AB’의 길이가 됩니다. 위 조건을 만족하는 P’에 대해, 삼각형의 합동을 이용하면 간단하게 입사각과 반사각이 동일함을 보일 수 있습니다. 따라서 빛은 반사의 법칙을 만족하는 경로를 따르게 되는 것이죠.

그럼 다음 문제를 살펴볼까요? 이전 문제들보다 난이도가 높으니 끝까지 집중해주세요!

문제 3. 굴절의 법칙(Snell’s law)

이번에는 두 점 A와 B 사이에 매질이 있는 경우를 생각해보겠습니다.

두 점 A, B는 직선 m을 기준으로 서로 반대편에 위치하며

직선 m으로 나누어진 두 영역은 서로 다른 매질로 채워져있습니다.

A가 위치한 영역의 굴절률을 n_1, B가 위치한 영역의 굴절률을 n_2라고 한다면, 빛은 어떤 경로를 따라가게 될까요? (단, 두 점 A, B는 직선 m 위의 점이 아니며 n1, n2 ≥ 1입니다.)

풀이에 앞서 필요한 변수들을 먼저 설정하겠습니다. 아래 그림을 참고하면 도움이 될 것입니다. 먼저 점 A, B로부터 직선 m까지의 거리를 각각 a, b라 하겠습니다. 그리고 L은 A, B에서 직선 m에 내린 수선의 발 사이의 거리입니다. 이때 A에서 직선 m에 내린 수선의 발에서 점 P까지의 거리를 x라고 놓게 되면, B에서 직선 m에 내린 수선의 발에서 점 P까지의 거리는 L-x가 되겠죠. x는 a, b와 달리 고정값이 아니라 변수임에 유의하세요!